行使国家立法权的部门是国家的立法机关。在中国，国家的立法机关是全国人民代表大会和它的常委会。根据宪法规定，全国人民代表大会是中国最高国家权力机关，有权制定和修改宪法和其他法律法规。全国人民代表大会常委会则是全国人民代表大会的常设机关，代表全国人民行使立法权。

在行使立法权的过程中，全国人民代表大会和常委会要依据宪法和法律法规的规定，制定和修改法律、法规和决议，维护国家法制的统一和权威，保障公民的合法权益和社会的稳定。此外，全国人民代表大会和常委会还要对法律、法规和决议的实施情况进行监督和检查，保证法律的执行力和效果。

总之，行使国家立法权的部门是全国人民代表大会和常委会，他们的工作是为了维护国家法制的统一和权威，保障公民的合法权益和社会的稳定，是国家的最高立法机关。