卡方分布是一种重要的概率分布，它在统计学中有广泛的应用。卡方分布的定义是：若 $X_1, X_2, ..., X_n$ 是独立同分布的标准正态分布随机变量，那么它们的平方和 $Y=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$ 就服从卡方分布，记作 $Y \sim \chi^2(n)$。

卡方分布是什么分布的特例呢？答案是：卡方分布是伽马分布的特例。伽马分布是指一类连续概率分布，它的定义是：若 $X_1, X_2, ..., X_n$ 是独立同分布的指数分布随机变量，那么它们的和 $Y=X_1+X_2+...+X_n$ 就服从伽马分布，记作 $Y \sim \Gamma(n,1)$。

伽马分布和卡方分布之间的关系可以通过以下推导得到。假设 $X$ 是一个服从参数为 $\lambda$ 的指数分布的随机变量，那么它的概率密度函数为：

$$f(x)=\lambda e^,\quad x\geq 0$$

现在令 $Y=X_1+X_2+...+X_n$，其中 $X_1, X_2, ..., X_n$ 是独立同分布的指数分布随机变量，那么 $Y$ 的概率密度函数可以表示为：

$$f(y)=\int_0^\infty \int_0^...\int_0^} \lambda e^ \lambda e^ ... \lambda e^ dx_1dx_2...dx_n$$

对上式进行变量替换，令 $z_i=\lambda x_i$，则有：

$$f(y)=\frac\int_0^\infty \int_0^...\int_0^^ z_i/\lambda} e^ e^ ... e^ dz_1dz_2...dz_n$$

这个式子看起来很复杂，但实际上可以化简为：

$$f(y)=\frac e^ y^,\quad y\geq 0$$

这就是参数为 $n$ 和 $1$ 的伽马分布的概率密度函数。由于 $X_i$ 是标准正态分布的平方，所以 $\lambda=1/2$，$n$ 就是卡方分布的自由度。

因此，卡方分布可以看作是参数为自由度 $n$ 和 $\lambda=1/2$ 的伽马分布的特例。这种关系在统计学中有着重要的应用，例如卡方检验和卡方拟合度检验等。