柯西不等式是数学中的一个重要基本公式，它被广泛应用于各个领域中的问题求解。柯西不等式最初是由法国数学家柯西所发现，它表达了两个向量的内积（也称为点积）与这两个向量长度乘积的关系。

假设有两个向量a和b，它们的长度分别为|a|和|b|，那么它们的内积可以表示为a·b。柯西不等式告诉我们，这两个向量的内积不会超过这两个向量的长度乘积，即：

|a·b| ≤ |a|·|b|

这个不等式的证明比较简单。我们可以将a和b投影到同一条直线上，然后通过三角不等式得到：

|a·b| ≤ |a|·|b|·cosθ

其中，θ表示a和b之间的夹角。由于cosθ的取值范围在-1和1之间，所以上述不等式成立。

柯西不等式的重要性在于它可以推广到更高维度的向量空间中。对于n维向量空间中的任意两个向量a和b，它们的内积可以表示为：

a·b = ∑ai·bi

其中，ai和bi分别表示向量a和b在第i个维度上的分量。这时，柯西不等式可以写成：

|∑ai·bi| ≤ ∑|ai|·|bi|

这个不等式可以用来证明很多数学定理，例如向量的正交性、向量的线性无关性、内积空间的完备性等等。在物理学、工程学、计算机科学等领域中，柯西不等式也被广泛应用于问题求解中。

综上所述，柯西不等式是数学中的一个重要基本公式，它表达了两个向量的内积与这两个向量长度乘积的关系。它的推广形式可以应用于更高维度的向量空间中，具有广泛的应用价值。