角平分线交点定理是初中数学中的重要定理之一，它指出一个三角形的内角平分线所交的边所分割的线段长度之比等于另外两边的长度之比。

对于一个三角形ABC，假设D点是角A的平分线与BC边的交点。根据角平分线的定义，角BAD和角CAD的度数相等，因此三角形ABD和ACD的两个角分别相等，因此它们是相似的三角形。根据相似三角形的性质，我们可以得出：

AD/AB = AC/AD

移项得到：

AD² = AB × AC

同样的方法可以得到：

BD² = BA × BC

因此，我们可以得出：

AD²/BD² = AB × AC / BA × BC

由于AB/BC = sinA/sinC，所以我们可以将上式改写为：

AD/BD = sinA/sinC

这样，我们就得到了角平分线交点定理的表达式。它告诉我们，三角形内角平分线所分割的边所对应的线段长度之比等于另外两边长度的比值。

角平分线交点定理的应用非常广泛，它可以用来求解三角形中各个角的大小，也可以用来证明一些三角形的性质，例如三角形内心的性质等等。因此，在学习三角形的相关知识时，我们需要充分理解和掌握角平分线交点定理的原理和应用。