三角形内心是指三角形三个角的平分线交点。在三角形内心处，有一些向量性质，下面我们来探究一下。

首先，我们定义三角形的三个顶点分别为 $A, B, C$，三角形内心为 $I$。假设 $AI, BI, CI$ 与三角形对边相交的点分别为 $D, E, F$，如下图所示：


根据向量的知识，我们知道 $AF = AE$，因为这两个向量都是 $\vec$ 与 $\vec$ 的平均向量。同理，$BD = BF$，$CE = CD$。

接着，我们定义向量 $\vec = \vec$，$\vec = \vec$，$\vec = \vec$。那么根据上面的结论，我们可以得到：

$$\vec + \vec = 2\vec$$

$$\vec + \vec = 2\vec$$

$$\vec + \vec = 2\vec$$

其中，$\vec, \vec, \vec$ 分别是三角形对边上的中点。将上面三个式子相加，得到：

$$\vec + \vec + \vec = \vec + \vec + \vec$$

也就是说，三个向量 $\vec, \vec, \vec$ 的和等于三角形对边上的中点向量的和。这就是三角形内心的向量性质。

接下来，我们来证明这个性质。根据向量的知识，我们知道一个向量可以表示为两个向量的和。因此，我们可以将 $\vec, \vec, \vec$ 表示为：

$$\vec = \frac{\vec + \vec}$$

$$\vec = \frac + \vec}$$

$$\vec = \frac + \vec}$$

将上面的式子代入到 $\vec + \vec + \vec = \vec + \vec + \vec$ 中，得到：

$$\vec + \vec + \vec = \frac{\vec + \vec} + \frac + \vec} + \frac + \vec}$$

化简一下，得到：

$$\vec + \vec + \vec = \frac(\vec + \vec + \vec) + \frac(\vec + \vec + \vec)$$

再次化简，得到：

$$\vec + \vec + \vec = \vec + \vec + \vec$$

这个式子显然成立，因为三个向量的和等于三角形的周长向量。因此，我们证明了三角形内心的向量性质。

三角形内心的向量性质可以帮助我们解决一些三角形的向量问题，例如求三角形内心到三边距离的平方和等。因此，掌握这个性质是非常有用的。