梯形的中位线定理是一个非常重要的几何定理，它指出：在一个梯形中，连接两个非平行边的中线垂直于梯形的两个平行边，并且它们的交点也是这两条中线的中点。

下面我们来证明这个定理。

首先，连接梯形的两个对角线，将梯形分成两个三角形。如下图所示：


在这个图中，我们将梯形的两个平行边分别标记为AB和CD，非平行边标记为BC和DA。同时，我们将连接BC和DA的中线标记为EF，连接AB和CD的中线标记为GH。

根据中位线的定义，EF和GH都是它们所连接的两个线段的中点。因此，我们可以得到：

BF = FD （因为EF是BC的中线）

AH = HC （因为GH是AB的中线）

接下来，我们需要证明EF和GH是垂直的，也就是证明它们的交点O是一个直角。

首先，我们可以得到：

BF + AH = BD （因为BF和AH分别是BC和AD的中线，它们的和等于对角线BD的一半）

FD + HC = CD （同理）

因此，我们可以得到：

BF + AH + FD + HC = BD + CD

因为AH = HC和BF = FD，所以可以进一步简化为：

2BF + 2AH = BD + CD

因为BF和AH分别是EF和GH的一半，所以可以写成：

EF + GH = BD + CD / 2

接着，我们需要证明EF和GH的交点O是在BD上的一半。我们可以通过反证法证明：如果交点O不在BD上的一半，那么它一定在BD的某个位置P上。那么，我们可以得到：

EF + GH > BD + PD / 2

又因为BD是BC和AD的一半，所以可以写成：

EF + GH > BC + AD + PD / 2

由于梯形的性质，BC + AD = BD，因此可以进一步简化为：

EF + GH > BD + PD / 2

但是，根据中位线定理，EF和GH的交点O是BD的一半，因此我们可以得到：

EF + GH = BD

因此，EF和GH的交点O一定在BD的中点上，也就是一个直角。

综上所述，我们证明了梯形的中位线定理成立。