在三角形中，角平分线和垂线是非常重要的概念。角平分线是指一条直线，将一个角分成两个相等的角。垂线则是指从一个点向另一个物体的直线，与该物体相交成90度角。当一个三角形中的角平分线和垂线重合时，会发生什么呢？

首先，让我们看一下角平分线和垂线的定义。角平分线是一条从角的顶点开始，将角分成两个相等的角的直线。垂线则是一条从一个点向另一个物体的直线，与该物体相交成90度角。

现在，我们考虑一个三角形ABC，其中角B被角平分线BD分成两个相等的角ABD和CBD。同时，从顶点B向边AC引一条垂线BE，将边AC分成两段AE和EC。我们将证明，当角平分线BD和垂线BE重合时，即BD=BE，那么AB=BC。

首先，我们知道BD和BE是同一条直线，即BD=BE。我们希望证明AB=BC，也就是说，三角形ABC是等腰三角形。因此，我们需要证明AB=BC，即证明角ABC和角ACB是相等的。

我们可以使用三角形的相似性来证明这一点。由于ABD和CBD是由角平分线BD分成的相等的角，所以它们是相似的。同样地，由于三角形ABE和CBE共享一条边BE，并且分别与角ABD和CBD相邻，所以它们也是相似的。因此，我们可以得出以下比例：

AB/BD = AE/BE 和 BC/BD = CE/BE

由于BD=BE，所以我们可以将这些比例简化为：

AB/BD = AE/BD 和 BC/BD = CE/BD

进一步简化可得：

AB = AE 和 BC = CE

这表明，当角平分线BD和垂线BE重合时，即BD=BE，那么AB=BC，即三角形ABC是等腰三角形。这就完成了我们的证明。

总之，当三角形中的角平分线和垂线重合时，即BD=BE，那么三角形ABC是等腰三角形。这是因为，角平分线将角分成相等的角，并且垂线将底边分成相等的部分，从而使得三角形的两条腰相等。这是三角形的一个重要性质，可以在几何学、数学和工程学等领域中得到广泛的应用。