三角形中线定理是指，一条三角形的中线（从一个角的中点到对边的中点）长为对边的一半。这个定理对于解决三角形的各种问题非常有用。

设三角形ABC的边长分别为a、b、c，AD是BC的中线，D是BC的中点。我们需要证明AD = 1/2BC。

首先，连接AC，然后在三角形ABC中，连接AE，将三角形ABC分成两个三角形ABE和AEC。由于AE是BC的中线，所以BE = EC。

我们可以用余弦定理来计算三角形ABE和AEC的面积。

在三角形ABE中，设∠AEB = θ，则：

cosθ = (a² + b² - c²) / 2ab

设AB = d，则：

d² = a² + b² - 2abcosθ

由于AE是BC的中线，所以BE = EC，即：

d/2 = (b + c)/2

所以：

d = b + c

将其代入上式：

(b + c)² = a² + b² - 2abcosθ

化简可得：

cosθ = (b - c) / 2a

同理，在三角形AEC中，设∠AEC = φ，则：

cosφ = (a² + c² - b²) / 2ac

设AC = e，则：

e² = a² + c² - 2accosφ

由于AE是BC的中线，所以BE = EC，即：

e/2 = (b + c)/2

所以：

e = b + c

将其代入上式：

cosφ = (c - b) / 2a

由于∠AEB = ∠AEC，所以：

cosθ = cosφ

即：

(b - c) / 2a = (c - b) / 2a

化简可得：

b = c

因此，AD = 1/2BC，定理得证。

三角形中线定理的证明过程较为复杂，但它的应用范围非常广泛，可以用来解决各种三角形问题。