在数学中，不定积分是一种非常重要的概念，它可以帮助我们求出函数的原函数。而在不定积分中，有一类比较特殊的函数，它们被称为三次正切函数，其中最著名的便是secx^3函数。

首先，我们来回顾一下正切函数的定义。正切函数在数学中是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为实数集的一部分。正切函数的公式为：tan(x) = sin(x) / cos(x)。

而secx^3函数则是指正切函数的倒数的立方，即1/cos^3(x)。由于cos(x)的正负性会影响到函数值的正负性，因此我们需要拆分不同区间进行讨论。

当cos(x) > 0时，即x∈(2kπ, (2k+1)π)或x∈(-2kπ, -(2k+1)π)时，有：

∫sec^3(x)dx = ∫(1/cos^3(x))dx

令u = cos(x)，则du/dx = -sin(x)dx，因此：

∫sec^3(x)dx = ∫(1/cos^3(x))dx

= ∫(1/u^3 * (-du/sin(x))) = -∫(du/u^3)

= 1/2cos^2(x) + C

而当cos(x) < 0时，即x∈((2k-1)π, 2kπ)或x∈(-(2k+1)π, -2kπ)时，有：

∫sec^3(x)dx = ∫(1/cos^3(x))dx

= -∫(1/(-cos^3(x)))dx

= -∫(-1/u^3 * (-du/sin(x))) = ∫(du/u^3)

= -1/2cos^2(x) + C

综上可知，不定积分∫sec^3(x)dx = 1/2cos^2(x) + C或-1/2cos^2(x) + C，其中C为任意常数。