梯形是一个有两条平行底边的四边形，它的两条非平行边被称为腰。梯形中位线定理指出，一个梯形的两条非平行边的中点连成的线段被称作梯形的中位线，它的长度等于梯形两个底边长度之和的一半。

为了证明梯形中位线定理，我们可以绘制一个梯形 ABCD，其中 AB 和 CD 是梯形的两个底边，BC 和 AD 是梯形的两个腰。将 BC 和 AD 的中点分别标记为 E 和 F，并连接 EF。

首先，我们可以证明 EF 与 AB 平行。因为 BC 和 AD 是梯形的两个腰，所以它们是平行的。因此，BE 和 CF 也是平行的，因为它们是梯形的对角线。根据平行线之间的性质，BE 和 CF 交于 EF 的中点，即 EF 与 AB 平行。

接下来，我们可以证明 EF 的长度等于 AB 和 CD 长度之和的一半。我们可以将梯形 ABCD 按照 EF 分成两个三角形 AEF 和 CEF。根据三角形中位线定理，EF 是三角形 AEF 和 CEF 底边中点连线的长度之和的一半。因此，EF 的长度等于 AE+EC 的长度之和的一半。但是，AE 和 EC 都是梯形的底边长度，所以 AE+EC 等于 AB+CD。因此，EF 的长度等于 AB+CD 的长度之和的一半，即梯形中位线定理成立。

通过上述证明，我们可以得出梯形中位线定理的结论，即一个梯形的中位线的长度等于梯形两个底边长度之和的一半。