三项二项式定理是高中数学中比较重要的概念之一，也是一种常见的数学题型。它包括了二项式定理的推广和拓展，对于学生来说掌握它的解题方法是十分必要的。

首先，我们来看一下三项二项式定理的公式：

$(a+b+c)^n=\sum_\binoma^ib^jc^k$

其中，$i,j,k$代表三个变量的指数，$\binom$表示组合数，即从$n$个元素中选出$i$个$a$，$j$个$b$，$k$个$c$的方案数。

接下来，我们来看一下三项二项式定理的解题方法。

题型1：求系数

题目描述：已知$(a+b+c)^n$展开式中$x^3$的系数是$7$，求$n$的值。

解题方法：根据三项二项式定理，$x^3$的系数为$\binom$，所以$\binom=7$。根据组合数的定义，$\binom=\dfrac=\dfrac$，所以$n(n-1)(n-2)=42$，解得$n=5$或$n=-6$。由于$n$表示幂次，所以$n$必须是正整数，因此$n=5$。

题型2：求和式

题目描述：已知$(1+x+x^2)^n$展开式中$x^$的系数是$2019$，求$n$的值。

解题方法：根据三项二项式定理，$x^$的系数为$\binom$，其中$i+j+k=n$，$i+2j=20$。解得$i=12$，$j=4$，$k=4$。因此，$\binom=2019$。根据组合数的定义，$\binom=\dfrac$，所以$(n-20)(n-21)\cdots(n-31)=2019\cdot12!\cdot4!\cdot4!$。由于$n$表示幂次，所以$n\geqslant20$，所以可以逐个尝试$n$的取值，最终得到$n=31$。

题型3：判断奇偶性

题目描述：已知$(a+b+c)^n$展开式中各项系数的和为$2^$，判断$n$的奇偶性。

解题方法：根据三项二项式定理，$(a+b+c)^n$展开式中各项系数的和为$(1+1+1)^n=3^n$。所以$3^n=2^$，解得$n=1$或$n=0$。由于$n$表示幂次，所以$n$必须是非负整数，因此只有$n=0$。因为$0$为偶数，所以$n$为偶数。