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定积分分部积分法

来源 :华课网校 2024-08-09 21:12:03

定积分分部积分法是高中数学中的一种重要的计算定积分的方法。它是利用积分的线性性和乘法法则,把原积分转化为另外两个积分的和,从而更容易地求出原积分的值。

具体而言,设 $u=u(x)$ 和 $v=v(x)$ 是两个可导函数,则根据分部积分公式可得:

$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$

将上式中的 $\int v(x)u'(x)dx$ 再次利用分部积分法,就可以得到一个新的积分,如此反复进行下去,直到积分被化为一些容易计算的基本积分。

下面以一个例子来说明分部积分法的应用。

求定积分 $I=\int x\sin x dx$。

定积分分部积分法

根据分部积分公式,我们可以令 $u=x$,$v'=\sin x$,则有:

$$\begin I &= \int x\sin x dx\\ &= -x\cos x+\int \cos x dx\\ &= -x\cos x+\sin x + C \end$$

其中 $C$ 为常数。

从上式可以看出,通过分部积分法,我们将原积分转化为 $\int \cos x dx$,这是一个容易求解的基本积分。因此,利用分部积分法,我们成功地求出了原积分的值。

总之,分部积分法是高中数学中非常重要的一种技巧。它可以简化定积分的计算,并且在工程、物理等实际应用中也具有广泛的应用。因此,我们需要认真学习和掌握这一技巧,从而更好地应对数学问题的挑战。

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