连续函数是数学中非常重要的概念之一。在定义域上，连续函数有一个非常重要的性质，就是一定存在最大值和最小值。

这个性质可以通过连续函数的定义来证明。连续函数的定义是：对于任意一个$x_0$，只要$x$足够靠近$x_0$，那么$f(x)$就会足够靠近$f(x_0)$。

根据这个定义，我们可以得出一个结论：如果一个函数$f(x)$在定义域$D$上连续，那么$f(x)$在$D$上一定有最大值和最小值。

为什么会有这个结论呢？我们可以从反证法入手。如果$f(x)$在$D$上没有最大值，那么对于任意的$x\in D$，都存在$x_1\in D$，使得$f(x_1)>f(x)$。如果我们取$x_2$为$x$和$x_1$之间的中点，那么$f(x_2)$一定大于$f(x)$，因为$f(x)$在$x_2$的左侧，而$f(x_1)$在$x_2$的右侧。这样一直重复下去，我们就可以构造出一个无限递增的数列$f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots$。由于$f(x)$在$D$上连续，因此这个数列会无限接近一个极限$L$。但是根据我们的假设，$f(x)$在$D$上没有最大值，因此$L$可以无限增大，这与数列无限接近一个极限的定义相矛盾。

同样的道理，如果$f(x)$在$D$上没有最小值，那么我们可以构造出一个无限递减的数列，也会导致矛盾。

因此，我们证明了连续函数在定义域上一定有最大值和最小值的结论。这个结论在数学中有着广泛的应用，例如优化问题中的最大值和最小值问题，以及实际生活中的温度、压力等物理量的极值问题。