二项式定理是代数中的一条基本公式，它可以用于求解各种代数问题。它的表述如下：

$$(a+b)^n=\sum\limits_^n \binoma^b^i$$

其中，$a$和$b$是常数，$n$是一个非负整数，$\binom$表示从$n$个元素中取出$i$个元素的组合数。这个公式包含了二项式系数$\binom$和幂次$a^$和$b^i$的组合。

二项式定理的证明可以通过归纳法来完成。对于$n=1$的情况，$(a+b)^1=a+b$，公式显然成立。现在假设公式对于$n=k$成立，即：

$$(a+b)^k=\sum\limits_^k \binoma^b^i$$

现在考虑$n=k+1$的情况。我们可以将$(a+b)^$表示为$(a+b)^k(a+b)$，根据归纳假设，$(a+b)^k$可以表示为：

$$(a+b)^k=\sum\limits_^k \binoma^b^i$$

现在，我们可以将$(a+b)^$展开，得到：

$$(a+b)^=(a+b)\sum\limits_^k \binoma^b^i$$

对于上式右边的求和式，我们可以将其展开：

$$(a+b)\sum\limits_^k \binoma^b^i =\sum\limits_^k \binoma^b^i+\sum\limits_^k \binoma^b^$$

现在我们需要将求和式中的指数写成$k+1$和$i$的形式。对于第一项：

$$\sum\limits_^k \binoma^b^i =\sum\limits_^k \binoma^b^i+\binoma^b^= \sum\limits_^ \binoma^b^$$

对于第二项：

$$\sum\limits_^k \binoma^b^=\sum\limits_^ \binoma^b^+ \binoma^b^=\sum\limits_^ \binoma^b^$$

因此，我们可以将展开后的式子写成：

$$(a+b)^=\sum\limits_^ \binoma^b^+\sum\limits_^ \binoma^b^$$

我们可以将两项合并，并利用二项式系数的对称性质，即$\binom=\binom$，得到：

$$(a+b)^=\sum\limits_^ \binoma^b^$$

因此，我们证明了二项式定理对于所有的非负整数$n$都是成立的。