圆面转动惯量是刻画物体转动惯性的物理量，是描述物体在转动运动中难以改变旋转状态的特性。圆面转动惯量的大小取决于物体的质量分布和几何形状，可以通过数学公式进行计算。下面来推导圆面转动惯量的公式。

假设有一个质量为m、半径为r的均匀圆面，该圆面绕着垂直于其平面的轴进行转动。设该轴与圆面的交点为O，圆面上任意一点P到轴的距离为r'，则P对该轴的转动惯量可表示为：

I_p = m * r'^2

对于整个圆面，将其分割成许多小面元，每个小面元的质量为dm，距离轴的距离为r。则每个小面元对该轴的转动惯量为：

dI_p = dm * r^2

将整个圆面的转动惯量I分解为所有小面元的转动惯量之和，即：

I = ∫dI_p = ∫(dm * r^2)

将圆面的质量分布情况考虑进来，假设圆面上每个单位面积上的质量为ρ，则圆面的总质量为：

m = πr^2 * ρ

将上述公式代入上式中，得到：

I = ∫(dm * r^2) = ∫(ρ * πr^2 * r^2 * dA) = ρπ∫r^4dA

由于圆面具有旋转对称性，所以可以将上式化简为一维积分：

I = ρπ∫r^4dA = ρπ∫[0,2π]∫[0,r]r^4rdrdθ

= (2/5)ρπr^5

综上所述，圆面绕垂直于其平面的轴的转动惯量为：

I = (2/5)mr^2

这个公式表明，圆面的转动惯量与其质量和半径的平方成正比，与形状无关。这个结论对于许多物理问题非常有用，在工程设计、运动学分析等领域都有广泛应用。