三角形是基础几何图形之一，其中包含了许多重要的概念和公式。本文将介绍三角形的四个重要点：重心、垂心、内心和外心，以及它们对应的公式。

首先是重心，重心是三角形三条中线的交点，中线是三角形连接各顶点与对边中点的线段。重心具有以下特点：三角形的重心到各顶点的距离相等，且重心到各边中点的距离是各边长度的一半。用坐标系表示，设三角形三个顶点分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，则重心的坐标为$(\frac,\frac)$。

其次是垂心，垂心是三角形三条高线的交点，高线是三角形连接各顶点与对边垂直的线段。垂心具有以下特点：垂心到三角形各顶点的距离相等，且垂心到各边的距离满足垂足到边的距离最短。用坐标系表示，设三角形三个顶点分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，则垂心的坐标为$(x,y)$，其中$x$和$y$分别满足以下方程组：

$$\begin

\frac=-\frac \\

\frac=-\frac \\

\frac=-\frac

\end$$

然后是内心，内心是三角形三条角平分线的交点，角平分线是三角形连接各顶点与对边角平分点的线段。内心具有以下特点：内心到三角形各边的距离相等，且内心到三角形周长的距离最短。用坐标系表示，设三角形三个顶点分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，则内心的坐标为$(x,y)$，其中$x$和$y$分别满足以下方程组：

$$\begin

\frac=\frac+\frac \\

\frac=\frac+\frac \\

\frac=\frac+\frac

\end$$

其中$d_1,d_2,d_3$分别是内心到三角形三边的距离。

最后是外心，外心是三角形三条中垂线的交点，中垂线是三角形连接各边中点并垂直于各边的线段。外心具有以下特点：外心到三角形各顶点的距离相等，且外心到各边的距离等于各边的中线长度。用坐标系表示，设三角形三个顶点分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，则外心的坐标为$(x,y)$，其中$x$和$y$分别满足以下方程组：

$$\begin

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2 \\

(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=(x-x_3)^2+(y-y_3)^2 \\

(x-x_3)^2+(y-y_3)^2=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2

\end$$

综上所述，重心、垂心、内心和外心是三角形中的重要概念，它们的特点和公式对于解决三角形相关问题非常有用。