根号三角函数公式也称为三角函数半角公式，是三角函数中的一种重要公式。该公式的表达式是：$\sqrt}=\sin \frac$ 或 $\sqrt}=\cos \frac$。

这个公式可以通过三角函数的和差公式来证明。我们以第一个表达式为例进行证明。首先，根据和差公式，可以得到：

$\sin \frac=\sqrt}+\sqrt}$

然后，我们将该式中第二个根号内的 $\cos \theta$ 用 $\sin^2 \theta$ 代替，得到：

$\sin \frac=\sqrt}+\sqrt}$

接着，我们将第二个根号内的 $\sin^2 \theta$ 再用 $\cos^2 \theta$ 替换，得到：

$\sin \frac=\sqrt}+\sqrt}$

我们发现，第二个根号内的 $\cos^2 \theta$ 可以提出来一个 $\cos \theta$，于是我们继续化简得到：

$\sin \frac=\sqrt}+\cos \theta \cdot \sqrt}$

将 $\sqrt}$ 提取出来，得到：

$\sin \frac=\sqrt} \cdot (1+\cos \theta)$

此时，我们将 $\sqrt}$ 用 $\sin \frac$ 代替，得到：

$\sin \frac=\sin \frac \cdot (1+\cos \theta)$

这个式子显然成立，于是我们证明了根号三角函数公式中的第一个表达式。

这个公式的应用非常广泛，可以用于解决许多三角函数的问题。例如，如果要求 $\cos \frac$，我们可以将 $\frac$ 写成 $\frac-\frac$ 的形式，然后利用和差公式将 $\cos \frac$ 转化为 $\cos \frac$ 和 $\sin \frac$ 的形式，最后利用根号三角函数公式求得 $\cos \frac=\sqrt{\frac{1+\cos \frac}}=\frac{\sqrt+\sqrt/2}$。

因此，掌握根号三角函数公式对于学习和使用三角函数都非常重要。