曲面的切平面在坐标轴上的截距是解析几何中一个基本的概念。在三维空间中，曲面可以用方程表示，例如二次曲面的方程为：

Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J都是常数。曲面的切平面是指与曲面相切的平面，它在曲面上的切点就是曲面的法向量。如果曲面在某一点的法向量与坐标轴平行，那么切平面就与该坐标轴垂直，这时切平面在该坐标轴上的截距就是该点在该坐标轴上的坐标。

假设我们要求曲面Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0在点(x0, y0, z0)处与x轴垂直的切平面在x轴上的截距，那么我们可以先求出曲面在点(x0, y0, z0)处的法向量，即：

n = (2Ax0 + Dy0 + Ez0 + G, 2By0 + Dx0 + Fz0 + H, 2Cz0 + Ex0 + Fy0 + I)

由于切平面与x轴垂直，所以其法向量与x轴的方向向量i相同，即：

n · i = 2Ax0 + Dy0 + Ez0 + G = 0

解得：

x = - (2Ax0 + Dy0 + Ez0 + G) / (2A)

这就是切平面在x轴上的截距。同样的方法可以用来求曲面在其他坐标轴上的截距。

总之，曲面的切平面在坐标轴上的截距是解析几何中的基本概念，它可以帮助我们更好地理解曲面的性质和特点。