在投资领域，年金是一种常见的投资方式。年金是指一定时间内，按照一定的利率每年定期支付一定数额的资金，直到到期后一次性收回本金和利息的投资方式。年金终值计算公式是计算年金到期时的本金和利息总和的公式。

年金终值计算公式如下：

FV = PMT × (((1 + r) ^ n) - 1) / r

其中，FV表示年金到期时的本金和利息总和；PMT表示每期支付的金额；r表示利率；n表示支付期数。

这个公式的推导可以从简单的单利计算公式开始。在单利计算中，本金加上利息即为到期时的总值。设本金为P，利率为r，支付期数为n，则单利计算公式为：

FV = P × (1 + r × n)

但是，在年金计算中，每年支付的金额不同，因此需要对每年的支付金额进行单利计算，然后将每年的总值加起来。设每年支付的金额为PMT，则第一年的总值为：

FV1 = PMT × (1 + r)

第二年的总值为：

FV2 = PMT × (1 + r) ^ 2

以此类推，第n年的总值为：

FVn = PMT × (1 + r) ^ n

将每年的总值相加，得到年金到期时的总值：

FV = FV1 + FV2 + … + FVn

将上述每年总值公式代入，得到：

FV = PMT × (1 + r) + PMT × (1 + r) ^ 2 + … + PMT × (1 + r) ^ n

将公式中的PMT提取出来，得到：

FV = PMT × ((1 + r) + (1 + r) ^ 2 + … + (1 + r) ^ n)

这个式子是一个等比数列求和公式，使用等比数列求和公式，可得到：

(1 + r) + (1 + r) ^ 2 + … + (1 + r) ^ n = ((1 + r) ^ n - 1) / r

将上述等比数列求和公式代入，得到年金终值计算公式：

FV = PMT × (((1 + r) ^ n) - 1) / r

这就是年金终值计算公式的推导过程。通过这个公式，我们可以计算出年金到期时的本金和利息总和，帮助我们更好地进行投资和财务规划。